3.1 数的编码
考点
- 掌握二进制、八进制、十六进制、十进制之间相互转换的方法；(数据与计算-P52)
知识点
1.进位计数制是什么
- 进位计数制简称“进制“。
- 进制是一种通过进位表示数的方法。
- 进制就是“满几进一“的计数规则。十进制是"逢十进一"，二进制是"逢二进一"。
2.常见的进制有哪些？
对口升学、中职单招只考查：
- 二进制
- 八进制
- 十进制
- 十六进制
3.进制的表示方法
- B — Binary 二进制
- Q — Octal 八进制（O 容易和 0 混淆，教材多用 Q）
- D — Decimal 十进制（可省略不写）
- H — Hexadecimal 十六进制
4.数码是什么
数码是进制的合法符号。比如：
- 十进制的数码：0~9
- 二进制的数码：0和1
- 八进制的数码：0 ~ 7
- 十六进制的数码：0 ~ 9 A ~ F
5.基数是什么
数码的个数就是基数，用R表示。如十进制基数R是10，二进制基数R是2。
6.计算机内部为什么采用二进制存储数据？
答：
- 二进制只有0、1两种状态
- 容易用电子元件实现；表示低电压或高电压两种状态。
- 运算规则简单；便于进行逻辑判断。
7.比特是什么
答：
- 比特（bit）也叫位，用小写b表示。
- 是计算机存储数据的最小单位，用来存放一个二进制数字0或者1。
8.比特与表示状态的关系是什么
- 1个比特可以表示00和01两种状态
- 2个比特可以表示00、01、10、11四种状态
- 以此类推
- 8个比特可以表示00000000、00000001、...、11111111，也就是256种状态
9. 字节是什么
答：经过实践，人们发现使用8位表示一个字节最经济。于是人们规定
1字节 = 8比特（1B=8bit）
- 字节的英文是：Byte，简写为大写B
10. 写出KB、MB、GB之间的换算关系。
答：
- 1KB = 1024B
- 1MB = 1024KB
- 1GB = 1024MB
11.位权是什么
好！终于讲到了位权。前面讲的都是铺垫，位权才是进制里最核心、最硬核的概念。只有搞懂位权，你才真正明白一个数在计算机里到底代表多少。
位权，就是“每个位置上的1所代表的真实大小”。
同样是数字1，站在不同位置上，身价完全不同：
个位上的1 → 代表1 十位上的1 → 代表10 百位上的1 → 代表100 千位上的1 → 代表1000
位置变了，1的身价就变了。这个身价，就是位权。
12.位权的计算公式是什么
位权 = 基数的 N 次方
字母N 表示该数字所在位置的序号。以十进制623为例：
从右往左数，第1位的n是0，第2位的 N是1，第3位的 N是2，依次类推
百位 十位 个位
6 2 3
↓ ↓ ↓
6×10² + 2×10¹ + 3×10⁰
= 600 + 20 + 3
= 623
13.写出1~10的二进制写法
14.进制转换的常见方法
| 方法 | 说明 | 适用范围 |
|---|---|---|
| 位权相加法 | 计算位权再相加 | |
| 位权分解法 | 按位权分解再相加 | |
| 除基数取余法 | 除基数取余 商为0 倒序排 | |
| 乘基数取整法 | 乘基数取整 积为0 正序排 | |
| 三位分组法 | 三位一组 | 二进制 ⇄ 八进制 |
| 四位分组法 | 四位一组 | 二进制 ⇄ 十六进制 |
| 二进制中介法 | 先转二进制 再转8/16进制 | 八进制 ⇄ 十六进制 |
15.位权相加法是什么
定义：其他进制转十进制的方法。即：将 R 进制每一位上的数字乘以该位对应的位权，然后全部相加，结果就是对应的十进制数
公式：N = d1 * R的n-1次方 + d2 * R的n-1次方
示例：二进制 1011B 转十进制
1011B = 1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0
= 1×8+0×4+1×2+1×1
= 8+0+2+1
= 11D
示例：八进制 25Q 转十进制
25Q = 2×8^1 + 5×8^0
= 16+5
=21D
16.幂次拆分法是什么
17.除基数取余法是什么
定义：十进制整数转 R 进制整数的方法。
规则：十进制整数反复除以目标进制的基数，记录余数；先得到的余数是低位，后得到的余数是高位，直到商为 0，逆序取出余数。
示例：11D 转二进制
11 ÷ 2 = 5 余 1
5 ÷ 2 = 2 余 1
2 ÷ 2 = 1 余 0
1 ÷ 2 = 0 余 1
逆序取余：1011，即 11D = 1011B
18.乘基数取整法是什么
定义：十进制小数转 R 进制小数的方法。
规则：十进制小数反复乘以目标进制基数，取出整数部分作为对应数位；先取出的整数是小数高位，后取出是低位，直到小数部分为 0 或者达到要求精度。
示例：0.625D 转二进制
0.625 × 2 = 1.25 取整数1
0.25 × 2 = 0.5 取整数0
0.5 × 2 = 1.0 取整数1
顺序读取：0.101，即 0.625D = 0.101B
19.三位分组法是什么
定义：二进制和八进制互相转换专用方法。
二进制→八进制：从小数点向左右两边，每 3 位分成一组；整数左边不足 3 位补 0，小数右边不足 3 位补 0，每组对应 1 位八进制。
八进制→二进制：1 位八进制直接展开成 3 位二进制。
示例：10110B 转八进制
分组：010 110
010→2，110→6
结果：10110B = 26Q
20.四位分组法是什么
定义：二进制和十六进制互相转换专用方法。
二进制→十六进制：从小数点向左右，每 4 位一组；整数左侧不足 4 补 0，小数右侧不足 4 补 0，每组对应 1 位十六进制。
十六进制→二进制：1 位十六进制展开为 4 位二进制。
示例：110101B 转十六进制
分组：0011 0101
0011→3，0101→5
结果：110101B = 35H
21.二进制中介法是什么
定义：八进制、十六进制之间互相转换时，不直接转换，先把原进制转为二进制，再用分组法转为目标进制，以二进制作为中间桥梁。
示例：将 26Q 转十六进制
①八转二：2→010，6→110，得到 010110B
②重新四位分组：0001 0110
③分组转十六：0001→1，0110→6
结果：26Q = 16H
进制转换专项练习
一、填空题（写出计算结果，每空2分，共30分）
提示：十进制转二进制可用【除基数取余法】或【幂次拆分法】；二进制转十进制用【位权相加法】
- 二进制 1011 转十进制 = ________
- 二进制 10010 转十进制 = ________
- 二进制 11011 转十进制 = ________
- 十进制 13 转二进制 = ________
- 十进制 18 转二进制 = ________
- 十进制 25 转二进制 = ________
- 二进制 1111 转十进制 = ________
- 十进制 7 转二进制 = ________
- 二进制 10101 转十进制 = ________
- 十进制 32 转二进制 = ________
- 二进制 1100 转十进制 = ________
- 十进制 15 转二进制 = ________
- 二进制 100000 转十进制 = ________
- 十进制 21 转二进制 = ________
- 二进制 11101 转十进制 = ________
二、单项选择题（每题3分，共30分）
- 二进制数110转换成十进制数是（） A.4 B.5 C.6 D.7
- 十进制数10转为二进制数是（） A.1010 B.1001 C.0101 D.1100
- 将二进制转为十进制，使用的方法是（） A.除基数取余法 B.位权相加法 C.乘基数取整法 D.三位分组法
- 将十进制整数转为二进制整数，反复除以2取余数，逆序写出，该方法是（） A.幂次拆分法 B.位权相加法 C.除基数取余法 D.四位分组法
- 十进制转二进制，把十进制拆成若干2的整数次幂之和，该方法叫（） A.幂次拆分法 B.位权相加法 C.除基数取余法 D.二进制媒介法
- 二进制1000对应的十进制是（） A.7 B.8 C.9 D.10
- 十进制数12对应的二进制是（） A.1011 B.1100 C.1001 D.1110
- 4位二进制最多可以表示多少个不同数值（） A.4 B.8 C.16 D.32
- 二进制10110对应的十进制为（） A.20 B.22 C.24 D.26
- 十进制28转为二进制是（） A.11100 B.10111 C.11010 D.10001
三、简答题（共40分，单招简答踩分题）
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简述【位权相加法】的计算步骤，举例：二进制10010转十进制。（14分）
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简述【除基数取余法】的计算步骤，举例：十进制18转二进制。（14分）
-
简述【幂次拆分法】的计算步骤，举例：十进制18转二进制。（12分）
附加练习（四位分组法）
- 二进制10110100，4位分组转十六进制：________
- 十六进制A5转二进制：________ 附加答案：B4；10100101
参考答案
一、填空题
1.11 2.18 3.27 4.1101 5.10010 6.11001 7.15 8.111 9.21 10.100000 11.12 12.1111 13.32 14.10101 15.29
二、单项选择题
1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.B 10.A
三、简答题参考答案（单招踩分背诵版）
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位权相加法 答：①确定二进制每一位对应的位权（2的n次方，从右从0开始计数）； ②每一位数字 × 对应位权； ③全部乘积相加得到十进制。 例：10010，从右编号：第1位是1，第4位是1 $1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0 =16+2=18$
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除基数取余法 答：①将十进制整数反复除以基数2； ②每次记录余数； ③直到商为0； ④逆序读取余数，得到二进制。 例：18÷2=9 余0；9÷2=4余1；4÷2=2余0；2÷2=1余0；1÷2=0余1；逆序余数：10010。
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幂次拆分法 答：①把十进制数拆成若干2的整数次幂相加； ②有该幂次的位置写1，没有的位置写0； ③按位组合得到二进制。 例：18 = $2^4+2^1$，第4位、第1位为1，其余位0，得到10010。